Аннотация:
Рассматривается полиномиальное ОДУ порядка $n$ в окрестности нуля или бесконечности независимой переменной. В [1] предложен метод вычисления его решений в виде степенных рядов. Там в § 7 показано, что такое решение может иметь экспоненциальную добавку, которая включает ещё один степенной ряд. Она содержит произвольную постоянную, существует лишь в определённых секторах $S(n, i)$ комплексной плоскости и находится из решения ОДУ порядка $n ‒ 1$. Там же показано, что возможна иерархическая последовательность экспоненциальных добавок, каждая из которых определяется из ОДУ всё меньшего порядка $m$ и существует в своих секторах $S(m, k)$. При этом надо следить за непустотой пересечения секторов существования $S(n, i), S(n ‒ 1, j),\ldots, S(m, k)$. Пример таких вычислений см. в [2]. Каждая экспоненциальная добавка продолжается в своё экспоненциальное разложение [3], содержащее счётное множество степенных рядов. В итоге получается разложение решения в трансряд [4], включающий счетное множество степенных рядов, которые все суммируемы [5]. Трансряд описывает семейства решений исходного уравнения в определённых секторах комплексной плоскости. Будут примеры из уравнений Пенлеве.
|
