Виртуальные уровни и принцип предельного поглощения

Виртуальные уровни, известные в английской литературе как "zero-energy resonances" (в контексте операторов Шрёдингера), изучались М.С. Бирманом и Л.Д. Фаддеевым ещё в начале шестидесятых годов. Виртуальный уровень допускает несколько эквивалентных определений. Например, можно сказать, что обобщённая собственная функция, соответствующая нулевому собственному значению, хотя и не из L^2, но из некоторого достаточно хорошего пространства. Можно сказать, что при сколь угодно малых возмущениях потенциала вблизи пороговой точки возникает собственное значение. Можно сказать, что оценки на резольвенту в некоторых весовых пространстах (то, что известно как "принцип предельного поглощения") неограниченно растут при приближении к пороговой точке тогда и только тогда, когда в ней находится виртуальный уровень. Мы показываем, что все эти определения равнозначны, при правильном понимании слова "некоторый". Работа в том же некотором смысле обзорная, хотя и с новыми результатами: например, оценки на резольвенту в весовых пространствах в двумерном случае (и, возможно, в одномерном) почему-то так и не были получены. Подход, который мы используем, работает в любой размерности и применим для несамосопряжённых матричнозначных потенциалов (а также для других операторов).