О геометрических решениях законов сохранения

В докладе будет описан новый метод построения решений задачи Коши для скалярного закона сохранения, позволяющий строить решения задачи Римана без априорных предположений о структуре (анзатце) решения. Предлагаемый метод также применим для систем законов сохранения ступенчатого вида. Метод будет проиллюстрирован на примере задачи о взаимодействии фронтов для скалярного закона сохранения
$$ \left\{
\begin{array}{l}u_t+(\Phi(u))_x=0,\\ u|_{t=0}=u_-+(u_1-u_-)\theta(x)+(u_+-u_1)\theta(x-a), \end{array}
\right. $$
где константы $a$, $u_-$, $u_1$, $u_+$ удовлетворяют соотношениям
$$a>0, u_+<u_1<u_-,$$
функция $\Phi$ строго выпуклая, $\theta(x)$ – функция Хевисайда. В качестве второго примера будет изучена задача Римана для системы ступенчатого вида
$$ \left\{
\begin{array}{l} \phi_t=0,\\ u_t+(\frac12u^2+\phi)_x=0,\\ \phi|_{t=0}=-\theta(x),\\ u|_{t=0}=u_-+(u_+-u_-)\theta(x), \end{array}
\right. $$
Отметим, что вторая модельная задача не является гиперболической по Фридрихсу, и потому ее решение не может быть построено при помощи стандартной техники.