Бифуркационный анализ динамики двух вихрей внутри круга и одного вихря, взаимодействующего с цилиндром, в идеальной жидкости

В докладе будут изложены результаты бифуркационного анализа для двух задач вихревой динамики: двух прямолинейных вихрей в идеальной жидкости, заключенной в область, ограниченную круговым цилиндром [2, 3], и одного вихря, взаимодействующего с цилиндрическим твердым телом, движущимся в идеальной жидкости [1]. Для первой задачи приведена гамильтонова форма уравнений движения и показана ее интегрируемость по Лиувиллю. Построена бифуркационная диаграмма и проведен анализ бифуркаций торов Лиувилля, как в случае интенсивностей противоположных знаков, так и в случае одноименных вихрей, указаны виды критических движений.
Благодаря явному аналитическому описанию бифуркационного множества удалось обнаружить динамические эффекты, которые свойственны рассматриваемой системе. В частности, аналитически доказано, что на одной из ветвей бифуркационной диаграммы найдется такое значение дополнительного интеграла, соответствующего моменту завихренности, при котором радиусы критических окружностей оказываются равными и вихри движутся по одной и той же окружности, находясь на противоположных концах диаметра. Проведено качественное сравнение фазовой топологии и динамики систем двух вихрей в бозе-эйнштейновском конденсате и классической идеальной жидкости.
Во второй системе приведена гамильтонова форма уравнений движения и показана ее интегрируемость по Лиувиллю. Найдены инвариантные соотношения. Построена бифуркационная диаграмма отображения момента и проведен анализ бифуркаций. Рассмотрена динамика вихря и цилиндра.

• А. В. Борисов, П. Е. Рябов, С. В. Соколов, Бифуркационный анализ задачи о движении цилиндра и точечного вихря в идеальной жидкости, Матем. заметки, vol. 99, issue 6, (2016) pp. 848–854.
• S. V. Sokolov and P. E. Ryabov, Bifurcation Analysis of the Dynamics of Two Vortices in a Bose–Einstein Condensate. The Case of Intensities of Opposite Signs, Regular and Chaotic Dynamic, 2017, vol. 22, no. 8, p. 976–995.
• Соколов С. В., Рябов П. Е., Бифуркационная диаграмма системы двух вихрей в бозе- эйнштейновском конденсате, имеющих интенсивности одинаковых знаков, 2018, ДАН, 479, (в печати).