Введение в локализацию Андерсена

Доклад посвящен модели Андерсена и является очень кратким введением в локализацию Андерсена. Мы будем следовать книге [1]. Планируется ввести понятие модели и локализации Андерсена и обсудить некоторые известные результаты.
Модель Андерсена описывает поведение квантовых частиц в кристаллах с нарушением порядка (вызванным примесями, например). Это случайный дискретный оператор Шрёдингера, действующий в $l^2(\mathbb{Z}^d)$,
\begin{equation*} H=-\Delta+\lambda V_{\omega}, \quad \lambda>0, \end{equation*}
где $(\Delta \psi) (x)=\sum\limits_{|y-x|=1}[\psi(y)-\psi(x)]$ и $(V_\omega \psi) (x)=\omega_x\psi(x)$, $(\omega_x)_{x\in\mathbb{Z}^d}$ – независимые одинаково распределенные случайные величины.
Рассуждая эвристически, можно заметить, что в случае малых $\lambda$ спектральные свойства определяются лапласианом, спектр которого является абсолютно непрерывным, а собственные функции $e^{ikx}$ делокализованы (это соответствует режиму проводника). В случае же большого $\lambda$ спектральные свойства определяются оператором умножения $V_\omega$, спектр которого является чисто точечным, а собственные функции $\delta_x$ локализованы (это соответствует режиму изолятора). В размерности $d>2$ предполагается сосуществование обоих видов спектра с переходами между ними.
[1] Michael Aizenman, Simone Warzel, Random Operators: Disorder Effects on Quantum Spectra and Dynamics, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 168, AMS, 2016.