Аннотация:
Не так давно в совместной работе с И.Злотниковым мы установили так
называемую K-замкнутость в шкале $K^p_{\theta}$ коинвариантных
подпространств оператора сдвига в окрестности точки $p=\infty$.
Доказательство оказалось очень похожим на доказательство аналогичного (и
известного давно) утверждения для пространств Харди в бидиске (точнее, на
двумерном торе). В связи с этим казалось естественным найти общую
формулировку, охватывающую оба случая. Она оказалась такой.
Пусть $A$ и $B$ – w*-замкнутые подалгебры в $L^{\infty}(\mu)$ ($\mu$ –
конечная мера), а $X$ и $Y$ – w*-замкнутые подпространства подпространства в
$L^{\infty}(\mu)$, являющиеся модулями, соответственно, над $A$ и $B$.
Обозначим через $X_p$ и $Y_p$ замыкания этих модулей в пространстве
$L^p(\mu)$, $1<p<\infty$. Тогда ПРИ НЕКОТОРЫХ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ
ПРЕДПОЛОЖЕНИЯХ пара $(X_p\cap Y_p, X\cap Y)$ K-замкнута в паре
$(L^p(\mu), L^{\infty}(\mu))$.
Эти дополнительные предположения - наличие операторов, связанных с
данными алгебрами и подчиненных оценкам, похожим на классические оценки
для проектора Рисса. Подчеркнем, что в упомянутых в начале резюме двух
конкретных задачах (о классах Харди на двумерном торе и о коинвариантные
подпространства на окружности) существенно использовались не только такие
оценки, но еще и вид ядра проектора Рисса и разложение
Кальдерона–Зигмунда. В общей ситуации эти вещи недоступны, их пришлось
заменять другими соображениями.
|
