Мартингальные пространства Соболева

По совместной работе с Р.Айющем и М.Войчеховским.
Я расскажу о дискретном аналоге пространств Соболева $W_1^1$ и функций ограниченной вариации $\mathrm{BV}$. Эти пространства состоят из векторнозначных мартингалов по равномерной фильтрации. Выберу два важных свойства классических аналогов этих пространств — теорему вложения Соболева $W_1^1(\mathbb{R}^d) \hookrightarrow L_{\frac{d}{d-1}}$ и свойство малой сингулярности мер-градиентов (нижняя размерность Хаусдорфа градиента функции класса $\mathrm{BV}(\mathbb{R}^d)$ хотя бы $d-1$) — и докажу их аналоги для предложенной дискретной модели. Удивительно, но в более общем случае (когда первый градиент заменён более сложным выражением — “обобщённым градиентом”) наименьшая возможная размерность Хаусдорфа “обобщённого градиента” оказывается равной некоторому выражению, очень напоминающему формулу энтропии.
Доказательство этих фактов основано на описании “почти экстремальных точек” рассматриваемых пространств. Ими оказываются некоторые фрактальные меры, размерность которых задаётся формулой Эгглстона, описывающей размерности подмножеств отрезка с некоторым определённым поведением цифр в $m$-ичной системе счисления.