Алгоритмическое определение порядка группы Шафаревича-Тейта и базиса группы Морделла-Вейля.

Группа Шафаревича-Тейта для данной эллиптической кривой над неким числовым полем измеряет препятствие к выполнению принципа Хассе, т.е. классифицирует однородные пространства над ней, не имеющие глобальных рациональных точек, но имеющие рациональные точки во всех пополнениях данного поля. Предполагается что группа Шафаревича-Тейта всегда конечна, однако доказательство этого факта существует только для эллиптических кривых ранга 0 и 1. Тем не менее, в 1971 году Манин предложил алгоритм для определения порядка группы Шафаревича-Тейта и вычисления порождающих группы Морделла-Вейля, основанный на двух предположениях (не доказанных на момент публикации): гипотезе Берча и Свиннертон-Дайера и гипотезе Таниямы-Шимуры-Вейля (с тех пор доказанной Уайлсом и Тэйлором). В настоящем докладе мы напомним необходимые сведения об эллиптических кривых и их L-функциях и сформулируем гипотезу Берча и Свиннертон-Дайера. В дальнейшем мы приведем необходимые оценки для производных L-функции и дадим описание алгоритма следуя статье Манина.