$K$-теория и Морита-эквивалентность

Для сигма-унитальных $C^*$-алгебр $A$ и $B$ известно, что их Морита-эквивалентность равносильна тому, что они стабильно изоморфны. Из этого следует, что у них изоморфна $K$-теория, хотя никакого явного изоморфизма не строится. В отсутствии сигма-унитальности есть примеры Морита-эквивалентных, но не стабильно изоморфных $C^*$-алгебр.
Я расскажу результат Ruy Exel-а о том, что Морита-эквивалентные $C^*$-алгебры имеют изоморфные $K$-теории, причем изоморфизм будет явно выписываться в терминах бимодуля, задающего эквивалентность. Идея основана на рассмотрении элементов $K$-группы $C^*$-алгебры $A$ как индексов фредгольмовых операторов между гильбертовыми модулями над $A$.