Аннотация:
Плоский биллиард — это динамическая система с двумя степенями свободы, описывающая движение точки внутри плоской компактной области с отражением от границы. Такая динамическая система всегда имеет первый интеграл — полную энергию. Если существует еще один первый интеграл, независимый с энергией, то система называется интегрируемой по Лиувиллю, и ее можно описывать в терминах инвариантов Фоменко-Цишанга. Если точка движется свободно от действия сторонних сил, то биллиард интегрируем, например, в областях, ограниченных дугами софокусных квадрик. Анализ динамики такого биллиарда и топологии его слоения Лиувилля были проведены В.В.Ведюшкиной. Встает вопрос: при каких действиях сторонних сил биллиард останется интегрируемым? Появятся ли новые инварианты или особенности?
Доклад будет посвящен двум темам. В первой части доклада будет говориться о работах В.В.Козлова и В.И.Драговича о биллиарде в эллипсе с потенциалом $V$. Будет приведено условие интегрируемости, широкий класс интегрируемых потенциалов и примеры отдельных потенциалов с топологическим анализом слоения.
Во второй части доклада будет говориться о биллиарде в окружности. Будут рассмотрены случаи действия гуковского потенциала и однородного магнитного поля, при которых биллиард остается интегрируем. Также будут приведены соответствующие бифуркационные диаграммы и полные инварианты Фоменко-Цишанга.
|
