Аннотация:
В конце 1990-х E.B.Davies показал, что спектральные свойства операторов в $L_2(\mathbb R)$ вида $Ty=-y''+c|x|^ny$, где $n > 0$, $c\in\mathbb C\setminus\mathbb R$, не характерны для операторов, подобным нормальным, и предположил, что резольвенты таких операторов должны обладать экпоненциальным ростом. Этот негативный результат вызвал бурный интерес математиков на фоне развивавшейся в то время широкой дискуссии (в физических кругах) вокруг т.н. "неэрмитовой квантовой механики". Появились работы, посвященные исследованию псевдоспектров модельных операторов, подтверждающие гипотезу Дэвиса.
Рассмотрим теперь случай, когда $c=1$, а оператор $T$ самосопряжен и возмущен более слабым оператором $By=V (x)y$, где $|V (x)|\leqslant C(1+|x|^k )$, $k<n$. Вопрос о спектральных свойствах возмущенного оператора $L=T+B$ оказывается более тонким и зависит от соотношения $k$ и $n$:
- если $k>n/2+1$, то $L$ может оказаться не подобным нормальному оператору с экспоненциально растущей резольвентой. Например, если $V(x)$ — полином степени $k$ с невещественным старшим коэффициентом, порядок роста резольвенты не меньше $(k −n/2+1)/n$;
- если $k<n/2+1$, то $L$ подобен нормальному, система его собственных и присоединенных функций образует базис Рисса;
- случай $k=n/2+1$ оказывается наиболее сложным, и здесь известны только частные результаты.
Настоящий доклад изначально предполагался как обзор работы B. Mityagin, P. Siegl, J. Viola (2017), чему будет посвящена его существенная часть. Дополнив результаты указанной работы ранее полученными в ходе обсуждений докладчика и А.А. Шкаликова (в 2014 году), мы построим более полную картину.
|
