Кратности неприводимых компонент в больших тензорных степенях представлений $U_q(sl_2)$ в корнях из единицы и случайные блуждания

(по результатам совместной работы с О.Постновой и Н.Решетихиным)
Мы рассмотрим теорию представлений деформации универсальной обёртывающей алгебры алгебры Ли $sl_2$, также известной как квантовая группа $U_q(sl_2)$. В случае, когда параметр деформации q является корнем из единицы, она имеет существенные различия с теорией представлений классической $sl_2$, так как перестаёт являться полупростой алгеброй.
Сделав обзор основных понятий и особенностей теории представлений квантовых групп, мы рассмотрим тензорные степени фундаментального представления маленькой квантовой группы $U_q(sl_2)$. Мы приведем формулы для кратностей неприводимых компонент и их расширений в разложении тензорной степени фундаментального представления. Также мы рассмотрим их асимптотику при стремлении тензорной степени N, размерности рассматриваемого представления l и степени корня из единицы r к бесконечности так, что отношения N/r и l/r остаются постоянными.