Аннотация:
Рассматривается задача о движении системы трех связанных твердых тел в
однородном поле сил тяжести. Каждое из тел может вращаться только вокруг одной из
своих осей: первое — вокруг неподвижной вертикали $Oz$, второе — вокруг горизонтали $Ox$,
жестко связанной с первым телом, а третье — вокруг оси $Oz$, жестко связанной со вторым
телом и ортогональной оси $Ox$. Предполагается, что $Ox, Oy, Oz$ ($Oy$ ортогональна
плоскости $Oxz$) — главные оси инерции второго тела для точки $O$, причем $Oz$ — ось
динамической симметрии третьего тела, а центры масс второго и третьего тел лежат на
этой оси.
Рассматриваемая задача допускает интеграл энергии H и два циклических интеграла
$K = k, L = l$. Задача поиска стационарных движений системы, исследования их
устойчивости и ветвления сводится к задаче анализа функции, заданной на отрезке и
зависящей от постоянных $k$ и $l$ циклических интегралов и одного бифуркационного
параметра $b$. В работе дан исчерпывающий анализ этой функции, который позволил
построить полные атласы бифуркационных диаграмм Пуанкаре-Четаева и Смейла. Эти
атласы позволяют при всех значениях постоянных $k$ и $l$ и допустимых значениях параметра
$b$ указать количество стационарных движений, выделить устойчивые и неусточивые
движения и определить топологические типы областей возможности движения. В
частности, показано, что при любых значениях $k$ и $l$ и $b$ существуют вертикальные
вращения системы при наивысшем или наинизшем расположении центра масс. В
зависимости от параметров задачи первые либо всегда неустойчивы, либо устойчивы
только при достаточно больших по модулю значениях постоянных $k$ и $l$, а вторые либо
всегда устойчивы, либо устойчивы только при достаточно малых по модулю значениях
этих постоянных. Кроме того, система допускает до четырех пар прецессионных
движений. Таким образом, в пространстве параметров задачи существуют области, для
которых система допускает одновременно десять стационарных движений (два
вертикальных вращения — одно устойчивое и одно неустойчивое, и четыре пары
прецессионных движений — две пары устойчивых и две пары неустойчивых).
Области возможности движения системы представляют собой либо трехмерных
тор, либо пустое множество, либо от одного до трех "толстых" двумерных торов.
|
