Аннотация:
Связь геометрии многообразий со свойствами диффузий и геометрических
Броуновских движений, порожденных римановыми метриками и
псевдо-метриками, является одним из центральных направлений исследований
в геометрии, использующим различные комбинации методов геометрии,
анализа, псевдо-дифференциальных уравнений и стохастического анализа.
Одним из самых знаменитых результатов в этом направлении является
теорема об индексе Атьи-Зингера. В отличие от наиболее стандартных
невырожденных диффузий в последнее время интерес исследователей все
более привлекают различные модели вырожденных (обычно гипоэллиптических)
диффузий, являющихся геометрическими аналогами диффузии Колмогорова,
отвечающей так называемому физическому Броуновском движению (а также
аномальных супер и суб-диффузий). В докладе пойдет речь о свойствах
таких диффузий и их связи с геометрическими инвариантами многообразий.
Перспективы дальнейших исследований диффузий на многообразиях весьма
обширны. Здесь стоит отметить прежде всего недавно возникшие
кинетические и релятивистские Броуновские движения, а также диффузии на
проективных пространствах и операторных алгебрах, описывающие
наблюдаемые квантово-механические системы и связанные с ними важнейшие
задачи управления такими системами с помощью современных квантовых
оптических приборов.
|
