Теория представлений групп и алгебраическая геометрия

Связи алгебраической геометрии и теории представлений групп многочисленны и разнообразны. Возникающие тут группы можно, в первом приближении, разбить на два больших класса.
I. Группы, связанные с достаточно произвольными алгебраическими многообразиями.
II. Группы, которые сами являются алгебраическими многообразиями (алгебраические группы) и тем самым доставляют примеры многообразий довольно частного вида, такие как, например, проективные пространства или общие, однородные пространства алгебраических групп. К этому направлению относится теория инвариантов, имеющая многочисленные приложения. Кроме того, сюда же можно отнести дискретные группы, которые возникают в теории униформизации и служат, например, для описания всех многообразий размерности 1, т.е. алгебраических кривых.
К группам первого класса относятся такие группы, как группы циклов и их классов относительно различных отношений эквивалентности, поля функций на многообразии, как локальные, так и глобальные, и многие другие. Сюда же можно отнести алгебраические группы $G$, координаты точек которых принадлежат локальным и глобальным полям, а также кольцам аделей.
В случае, когда группа $G$ полупроста (или редуктивна), теория представлений таких групп получила сильное развитие во второй половине XX века и оказалась глубоко связана с теорией автоморфных форм, принадлежащей как комплексному анализу, так и алгебраической геометрии. Это развитие стало весьма полезным для теории чисел и привело, в частности, к доказательству теоремы Ферма. Существенное значение имела программа Ленглендса о связи представлений групп Галуа локальных и глобальных полей (размерности 1) и автоморфных представлений полупростых групп над такими полями. Программа Ленглендса реализована лишь частично и привлекает сейчас большое внимание.
Заметим, однако, что многие трудные задачи теории чисел плохо укладываются в рамки этой теории. Примером такой задачи является гипотеза Берча–Суиннертон–Дайера (БСД) о порядке полюсов дзета-функции эллиптических кривых.
Кроме того, в этой весьма обширной теории имеется одно принципиальное ограничение: в ней рассматриваются в качестве основного поля лишь поля размерности 1, такие как локальное поле $p$-адических чисел и глобальное поле рациональных чисел. Локальные поля, используемые в теории представлений полупростых групп, возникают как поля на алгебраических кривых (или на спектрах колец целых в полях алгебраических чисел). Обобщение понятия локального поля на случай многообразий любой размерности было предложено докладчиком в 1975 г. Оно приводит к обобщению адельных конструкций на многообразия произвольной размерности и появлению гораздо более обширного класса групп, связанных с алгебраическими многообразиями. Несколько лет назад докладчиком было обнаружено, что в рамках этой теории можно выделить класс групп, которые нильпотентны и дискретны (в данном случае, не несут никакой топологии).
В теории унитарных представлений локально компактных групп в гильбертовом пространстве такие группы занимали весьма обособленное место, так как обладали целым рядом патологических свойств (они, как правило, не группы типа I в классификации фон Неймана). Тем не менее, если отказаться от условия унитарности, то можно построить очень естественную и весьма эффективную теорию представлений и применить ее к изучению тех нильпотентных групп, которые возникают из алгебраических многообразий.
Подход, излагаемый в докладе, можно представить такой диаграммой:
Алгебраические многообразия $\to$ Дискретные нильпотентные группы $\to$ Многообразия модулей их представлений над полем комплексных чисел
Заметим, что если исходное многообразие определено над конечным полем или кольцом целых чисел, то мы все равно приходим к комплексному многообразию модулей представлений. Это открывает новые и неожиданные перспективы в изучении арифметических задач, непосредственно используя методы комплексной алгебраической геометрии и комплексного анализа.
Доклад будет содержать обзор этого круга вопросов на вполне элементарном уровне с привлечением самых простых примеров. Более развернутое и полное изложение см. в тексте моего доклада на математическом конгрессе в Хайдарабаде: arXiv: mathNT/1012.0486.