Узкие алгебры Ли: классификация и приложения

Следуя Зельманову и Шалеву, будем называть узкими положительно градуированные алгебры Ли $ {\mathfrak g}=\oplus_{i=1}^{+\infty}{\mathfrak g}_i, [{\mathfrak g}_i, {\mathfrak g}_j]\subset {\mathfrak g}_{i+j}, i,j \in {\mathbb N}, $ с не более чем двумерными однородными компонентами ${\mathfrak g}_i$. Примеры алгебр Ли такого класса можно встретить в самых разных задачах. В частности, эти алгебры имеют медленный линейный рост. Самый известный пример – положительная часть алгебры Витта (Вирасоро). Узкие алгебры изучала Вернь (филиформные алгебры Ли) задолго до Зельманова и Шалева.
Имеется важный и интересный класс положительно градуированных алгебр Ли, которые в современной литературе называются алгебрами Карно, – они удовлетворяют дополнительному условию $ [{\mathfrak g}_1,{\mathfrak g}_i]={\mathfrak g}_{i+1}, \forall i. $ Алгебры Карно рассматривались Вершиком и Гершковичем под названием однородных алгебр Ли в работах по неголономной геометрии.
В докладе мы обсудим известные классификации некоторых классов узких алгебр Ли, а также приложения, которые инициировали подобные классификации. Постараемся обсудить открытые вопросы и нерешенные задачи.