Аменабельность, самоподобные группы и трюк Мюнхаузена

Понятие аменабельной группы (т. е. группы с инвариантным средним) было введено Джоном фон Нейманом в 1929 году в связи с исследованиями алгебраической природы парадокса Банаха–Тарского. Альфорс и Боголюбов независимо пришли к этому понятию через призму римановых поверхностей и топологических групп. В дальнейшем аменабельность стала играть фундаментальную роль во многих исследованиях в теории операторных алгебр, геометрической теории групп, динамических системах и эргодической теории, теории случайных блужданий, топологии и геометрии, дискретной математике, дескриптивной теории множеств и других разделах математики. Существует огромное число эквивалентных определений этого понятия, звучащих «на разных языках», от определения Тарского в терминах отсутствия на аменабельных группах схем, аналогичных финансовым схемам Понзи, до вероятностного критерия Кестена в терминах случайного блуждания на группе. Важную роль в исследовании аменабельности играет рост групп, определенный независимо А. С. Шварцем и Джоном Милнором.
В докладе мы расскажем, как были решены несколько важных проблем, связанных с аменабельностью и ростом, в частности проблема Милнора о группах промежуточного роста, проблема Дэя о неэлементарной аменабельности, гипотеза фон Неймана, проблема М. Фридмана и П. Тейшнера о существовании новых «хороших» (для топологии) групп и проблема Гринлифа, о существовании аменабельных действий неаменабельных групп.
Мы также расскажем о роли так называемых самоподобных групп (называемых также фрактальными группами или группами автоматов), ветвящихся групп и других классов групп, действующих на корневых деревьях, в исследованиях аменабельности и роста, и о некоторых приложениях в голоморфной динамике. В конце доклада мы опишем метод доказательства аменабельности, получивший название «Трюк Мюнхаузена», и укажем на его связь с техническим приемом, известным как «Дополнение Шура», нередко применяющимся в численных методах решения дифференциальных уравнений в частных производных и некоторых вопросах линейной алгебры.