On the second Painlevé equation and its higher analogues

Шесть уравнений Пенлеве были получены Полем Пенлеве и его школой в ходе классификации обыкновенных дифференциальных уравнений вида $w'' = P (z, w, w')$, где функция $P (z, w, w')$ является многочленом по переменным $w$ и $w'$, а по переменной $z$ – аналитической функцией, решения которых не имеют неподвижных особенностей. Эти уравнения имеют широкое применение в физике и красивую математическую структуру. Доклад будет посвящён одному из этих уравнений, а именно второму уравнению Пенлеве.
В ходе доклада мы покажем, что PII является интегрируемым уравнением, предъявив гамильтониан системы в переменных Кадзуо Окамото. Также это уравнение является интегрируемым в смысле Лакса и имеет соответствующую изомонодромную задачу. Другим интересным вопросом является преобразование Бэклунда и действие аффинной группы Вейля, при помощи которых можно получать различные рациональные решения для целых значений параметра PII. У этого уравнения имеются ещё одно важное представление в виде $\sigma$-координат, которые оказываются $log$-симплектическими.
В силу наличия пары Лакса, у второго уравнения Пенлеве имеются старшие аналоги, которые мы получим при помощи редукции иерархии модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза.