Аннотация:
В 1994 г. Дж.Кобб построил канторово множество в $R^3$, проекция которого на любую $2$-плоскость одномерна, и поставил общий вопрос: существует ли, для заданных чисел $N>m>k>0$, такое канторово множество в $R^N$, проекция которого на любую $m$-плоскость имеет размерность $k$ ?
Для случаев $(N,m,k)=(2,1,1)$ и $(N,N-1,N-1)$ такие множества известны из работ Антуана (1924) и Борсука (1947), для случаев $k=m-1$ и $m=N-1$ — построены Фролкиной (2010) и Barov-Dijkstra-van der Meer (2012), соответственно.
Конструкция Кобба достаточно сложная. Я получила более простые конструкции канторовых множеств в
$R^N$, проекции которых на любую $(N-1)$-плоскость $(N-2)$-мерны (новое описание отличается от моей работы 2010 г., в которой, как и в [Barov-Dijkstra-van der Meer-2012], развивался метод Кобба).
Далее, оказывается, что канторовы множества с многомерными проекциями являются “исключительными” в следующем смысле. Пусть $\mathcal C(R^N)$ — пространство всех канторовых множеств в $R^N$, снабженное метрикой Хаусдорфа.
Известно, что $\mathcal C(R^N)$ является пространством Бэра.
Имеется такое плотное $G_\delta $-множество $\mathcal P \subset \mathcal C(R^N)$, что
для всякого $X\in \mathcal P$ и всякого ненулевого линейного подпространства $L \subset R^N$ проекция
$X$ на $L$ является канторовым множеством. Это дает частичный ответ на вопрос Кобба.
