О значениях функции перманент

Две важные в алгебре, комбинаторике и их приложениях матричные функции, определитель и перманент, выглядят достаточно похоже:
$$ \det A= \sum_{\sigma\in { S}_n} (-1)^{\sigma} a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)} \quad {\text и } \quad {\text per}\, A= \sum_{\sigma\in { S}_n} a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}, $$
здесь $A=(a_{ij})\in M_n({\mathbb F})$ — $n\times n$ матрица над некоторым полем ${\mathbb F}$, а через $S_n$ обозначена группа перестановок множества $\{1,\ldots, n\}$. Вместе с тем, свойства функции перманент значительно сложней. Например, методом Гаусса определитель вычисляется за полиномиальное время, тогда как вопрос существования полиномиального алгоритма для вычисления перманента открыт. В этой связи актуален целый ряд открытых проблем о значениях функции перманент и о соотношениях перманента и определителя.
В докладе будут обсуждаться результаты серии совместных работ с М. В. Будревичем, Г. Долинаром, Б. Кузмой, И. А. Спиридоновым и К. А. Тараниным, посвященные недавним исследованиям следующих вопросов: проблема Полиа конвертации перманента и определителя; проблема Брюальди-Ньюмана о нереализуемых значениях перманента (0,1)-матриц; положительное решение проблемы Ванга-Кройтера о точной границе перманента (-1,1)-матриц.