Аннотация:
В 1994 г. Дж.Кобб построил канторово множество в $\mathbb R^3$, проекция которого на любую $2$-плоскость одномерна, и поставил общий вопрос: существует ли, для заданных чисел $N>m>k>0$, такое канторово множество в $\mathbb R^N$, проекция которого на любую $m$-плоскость имеет размерность $k$ ?
Для случаев $(N,m,k)=(2,1,1)$ и $(N,N-1,N-1)$ такие множества известны из работ Антуана (1924) и Борсука (1947), для $(N,m,m-1)$ и $(N,N-1,N-2)$ — построены Фролкиной (2010, 2019), для $(N,N-1,k)$ — Barov-Dijkstra-van der Meer (2012).
В первой части доклада будет представлена новая легко конструируемая серия канторовых множеств в $\mathbb R^3$, у которых все проекции связны и одномерны. Это самоподобные канторовы множества, восходящие к работам Л.Антуана. (На прошлом докладе мы обсудили необходимость следить за формой, размерами и расположением допредельных полноториев; теперь же свойство самоподобия заменит этот контроль.)
Во второй части доклада будет показано, что канторовы множества с многомерными проекциями являются “исключительными” в смысле категории Бэра. Пусть $\mathcal C(\mathbb R^N)$ — пространство всех канторовых множеств в $\mathbb R^N$, снабженное метрикой Хаусдорфа; у типичного его элемента все проекции являются канторовыми множествами. Это дает частичный ответ на другой вопрос Кобба.
