Аннотация:
Определение числа $F$-рациональных точек на алгебраическом многообразии $X$ над конечным полем $F=F(q)$ является важной задачей алгебраической геометрии, имеющей приложения в арифметике алгебраических многообразий и теории чисел. К глубоким результатам об этих числах относятся формула следа Гротендика и доказательство гипотез Вейля о дзета-функциях, данное Делинем.
Оказывается, в случае, когда $X$ — однородное пространство линейной алгебраической группы, можно элементарными средствами доказать, что число $F(q^n)$-рациональных точек на $X$ задается периодическим полиномом от $q^n$, т.е. существует такое число $N$ и последовательность полиномов $P_0,\dots,P_{N-1}$, что
$$
|X(F(q^n))|=P_r(q^n),
$$
где $r$ — остаток $n$ $\mathrm{mod}\,N$. В доказательстве используются идеи теории инвариантов конечных групп.
|
