The prediction of Manin-Batyrev-Peyre on the number of rational points of algebraic varieties

Пусть $X$ — алгебраическое многообразие над полем $\mathbb{Q}$. Множество рациональных точек $X$, обозначаемое через $X(\mathbb{Q})$ — это множество решений системы уравнений, задающих $X$ над $\mathbb{Q}$.

Существует гипотеза, что при некоторых геометрических свойствах многообразия $X$ множество $X(\mathbb{Q})$ «большое». Мы считаем количество рациональных точек при этих геометрических условиях и, для того чтобы это сделать, вводим «высоты». Высота на $X$ — это функция на $X(\mathbb{Q})$, которая определенным образом измеряет «арифметическую сложность» рациональной точки. Она удовлетворяет следующему свойству: если $B > 0$, количество рациональных точек $X$ высоты меньше $B$ конечно. Сколько таких рациональных точек? Из теории, начатой Маниным, а затем развитой Батыревым, Пейре, Чинкелем, Шамберт-Луаром и другими, следует гипотеза асимптотического поведения числа рациональных точек при $B \to \infty$. Гипотеза выполняется во многих важных случаях.

На докладе мы сформулируем версию Пейре гипотезы и попытаемся понять её доказательство в некоторых простых случаях.