Аннотация:
Я расскажу о различных версиях категории Люстерника–Шнирельмана.
Категория Люстерника–Шнирельмана оценивает минимальное число
$\text{Crit}(M)$ критических точек функций на замкнутом многообразии $M$. В случае
когда многообразие имеет размерность выше $5$, совместно с Станиславом
Труновым мы показываем, что число $\text{Crit}(M)$ совпадает с минимальным
числом гладких дисков с углами, на которые разбивается многообразие $M$.
В случае $4$ и $5$-мерных многообразий оценка получается сложнее из-за
возможного наличия в этих размерностях гладких многообразий
гомеоморфных, но не диффеоморфных диску. В случае многообразий
размерности $4$ мы используем технику трисекций для оценки числа $\text{Crit}(M)$.
Недавно открытая техника трисекций аналогична технике разбиения
$3$-многообразий на два тела с помощью диаграммы Хегора, состоящей
из пары семейств кривых на поверхности. Гэй и Кёрби показали, что
любое $4$-многообразие разбивается на три тела с помощью диаграммы
Хегора, состоящей из трех семейств кривых на поверхности.
