Комбинаторная теория чисел

В докладе мы расскажем о новой бурно развивающейся области современной математики — комбинаторной теории чисел или аддитивной комбинаторике. Эту науку можно определить, грубо говоря, как изучающую комбинаторные вопросы, связанные с групповой структурой.
Истоки данной области, возводят, чаще всего, к классической теореме А. Л. Коши о сложении множеств в группе $Z/pZ$ (мощность суммы множеств $A$ и $B$ либо равна $p$, либо не меньше, чем $|A|+|B|-1$), также к теореме И. Шура о уравнении $xn+yn\equiv zn$ $(\operatorname{mod}p)$ и, конечно, к теореме Б. Л. Ван дер Вардена о монохроматических арифметических прогрессиях. Что касается приложений, то первое из них было получено Л. Шнирельманом в 1930 году, который доказал, что всякое натуральное число, начиная с двойки, является суммой ограниченного числа простых.
Теорема Ван дер Вардена, названная А. Я. Хинчиным «жемчужиной теории чисел» имела, безусловно, наибольшее влияние на всю рассматриваемую область. Непосредственно с последней связаны теорема Е. Семереди (1969) о арифметических прогрессиях, а также создание Х. Фюрстенбергом, так называемой «комбинаторной эргодической теории» (1971). В последнее время в аддитивной комбинаторике наблюдается значительный всплеск активности, связанный, прежде всего, с появлением количественных результатов об арифметических прогрессиях Т. Гауэрса (2001), оценок для сумм произведений Бургена–Каца–Тао (2003) и, конечно, потрясающего результата Грина–Тао (2004) о существовании в множестве простых чисел прогрессий произвольной длины.
Мы планируем рассказать о имеющихся в данной науке результатах, а также о ее связях с эргодической теорией и комбинаторикой.