Аннотация:
Формальные деформации ассоциативных алгебр были введены Герстенхабером
в 1964 г. За прошедшее с тех пор время они приобрели большую популярность,
в значительной степени благодаря проблематике деформационного квантования
и знаменитой теореме Концевича (1997) о существовании деформационного квантования
пуассоновых многообразий.
С технической точки зрения, формальная деформация ассоциативной $\mathbb C$-алгебры $A$
представляет собой ассоциативную алгебру $\tilde A$ над кольцом $\mathbb C[[h]]$ формальных
степенных рядов вместе с изоморфизмом алгебр $\tilde A/h\tilde A\cong A$.
Кроме того, требуется, чтобы $\tilde A$ была топологически свободна как $\mathbb C[[h]]$-модуль.
Наряду с формальными деформациями, многие авторы рассматривали и так называемые
неформальные. Их основное отличие заключается в том, что вместо кольца формальных степенных
рядов в качестве «базовой» алгебры рассматривается некоторая алгебра функций.
Хотя неформальные деформации устроены значительно сложнее, чем формальные,
и про них гораздо меньше известно, именно они (по мнению ряда специалистов)
представляют особенный интерес с точки зрения физики.
В докладе речь пойдет про формальные и неформальные деформации алгебр голоморфных
функций на областях в $\mathbb {C}^n$. Точнее, будут рассматриваться деформации, отвечающие лишь
одной конкретной квадратичной скобке Пуассона, которая приводит к коммутационным
соотношениям $x_j x_k=e^{ih}x_k x_j$ ($j<k$) между координатами $x_1,\ldots ,x_n$.
Формальные деформации будут построены для алгебры
голоморфных функций $\mathcal O(U)$
на произвольном открытом множестве $U\subset\mathbb C^n$,
а неформальные (точнее, голоморфные) — для
алгебр голоморфных функций на полидиске и шаре. Роль базовой алгебры при этом будет играть
алгебра $\mathcal O(\mathbb C^\times)$ голоморфных функций на проколотой комплексной плоскости.
Мы покажем, что голоморфная деформация алгебры $\mathcal O(U)$ (в отличие от формальной)
не является проективным и тем более не является свободным
$\mathcal O(\mathbb C^\times)$-модулем Фреше,
и что формальная деформация получается из голоморфной «расширением скаляров».
В заключение мы обсудим некоторые возможные обобщения голоморфных деформаций
на случай более общих областей $U\subset\mathbb C^n$, основанные на использовании
теории свободных голоморфных функций в духе Калюжного–Вербовецкого
и Винникова.
Доклад состоится через ZOOM. Идентификатор конференции: 894 2173 3235 Код доступа: 981486
