Твердое тело под действием потенциальных и гироскопических сил: новые интегрируемые задачи

Уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой под действием потенциальных и гироскопических сил имеют вид
\begin{equation*} J\dot{{\omega}}=\left(J{\omega}+{\mu}\right) \times {\omega} + {\gamma} \times \dfrac{\partial V}{\partial {\gamma}}, \quad\\ \dot{{\gamma}} = {\gamma} \times {\omega}, \\ \end{equation*}
где ${\omega}=(p,q,r)$ — угловая скорость тела, $J$ — его тензор инерции относительно точки закрепления, ${\gamma}$ — единичный вертикальный вектор, ${\Lambda}$ — вектор гироскопических сил, $V$ — потенциал силового поля, в котором находится система, ${\mu}=\dfrac{\partial}{\partial{\gamma}} \left\langle {\Lambda},\,{\gamma} \right\rangle - \left\langle \dfrac{\partial}{\partial{\gamma}},\,{\Lambda} \right\rangle {\gamma}$.
В общем случае эти уравнения неинтегрируемы, но при определенных условиях на параметры этой системы можно получить интегрируемость.
Помимо широко известных и успешно решенных классических случаев (Эйлера, Лагранжа, Ковалевской и т. д.), в последнее время появились работы, посвященные новым открытым интегрируемым случаям. Так, вышедшая недавно в издательстве Springer книга Х.М. Яхья «Rigid body dynamics: A Lagrangian approach with a full survey of integrable problems» обобщает все наработки в этом направлении за последние 30 лет.
В докладе будет дано описание двух интегрируемых случаев из этой книги. Они получены как обобщения классических случаев Лагранжа и Горячева-Чаплыгина-Сретенского с добавлением к телу ротора (т.е. введения гироскопических сил) и приложения потенциальной силы. Это значительно усложнило исследование. Конкретные результаты (топология изоэнергетического многообразия, инварианты Фоменко и Фоменко-Цишанга, описание особых точек ранга 0) на данный момент не получены, но выполнен обзор литературы и намечено направление дальнейшей работы.