К теоретико-автоматной интерпретации квантовой механики

В 2016 году G. 't Hooft опубликовал монографию «The Cellular Automaton Interpretation of Quantum Mechanics», где представлена интерпретация квантовой механики на основе клеточных автоматов. Ранее подобного рода идеи были изложены в книге S.Wolfram «A New Kind of Science» 2002 года, а в 2020 году S.Wolfram начал на основе этих идей построение общей физической теории.
В докладе будет изложен альтернативный подход, а именно, вместо клеточных автоматов будут рассматриваться модели на основе «обычных» автоматов, т.е. автоматов, преобразующих посимвольно слова входного алфавита в слова выходного алфавита. По сравнению с клеточными автоматами данный тип автоматов представляет собой самые «маломощные» вычислители: клеточные автоматы могут реализовать любой алгоритм т.к. они эквивалентны машинам Тьюринга, в то время как обычные автоматы реализуют лишь довольно узкий класс алгоритмов.
Именно, поскольку «обычный» автомат с $p$-символьным входным и выходным алфавитами задает преобразование входных слов любой конечной длины в выходные слова этой же длины, он единственным образом задает преобразование и бесконечных входных слов в бесконечные выходные слова. Рассматривая слова бесконечной длины как представление целого $p$-адического числа в каноническом виде, получаем функцию, заданную и принимающую значения в кольце целых $p$-адических чисел. Эта функция удовлетворяет $p$-адическому условию Липшица с константой $1$. Верно и обратное: каждая функция, заданная и принимающая значение в кольце целых $p$-адических чисел и удовлетворяющая $p$-адическому условию Липшица с константой $1$, задается некоторым «обычным» автоматом.
В этом смысле клеточный автомат в общем случае задает функцию, которая даже не является всюду определенной на кольце целых p-адических чисел, и не является непрерывной на своей области определения.
В докладе будет выделен специальный класс «обычных» автоматов, которые можно рассматривать как модель волновой функции, и с помощью этой модели получить в теоретико-автоматных терминах и, соответственно, в терминах $p$-адических $1$-липщицевых функций, интерпретацию коллапса волновой функции, а также интерпретацию состояния квантовой системы, стандартно описываемое вектором в гильбертовом пространстве. В качестве физической основы модели используется предположение о том, что на планковских расстояниях физический мир дискретен, а «закон причинности» выполняется.
В качестве «математического инструментария» будут рассмотрены классы «обычных» автоматов, таких, что соответствующие им $p$-адические $1$-липшицевы функции принимают рациональные целые $p$-адические значения на рациональных целых $p$-адических числах и которые могут быть единственным образом продолжены до (кусочно-) непрерывных функций действительного аргумента, принимающих действительные значения.
Функции из этого класса включают в себя, например, все полиномы с рациональными целыми $p$-адическими коэффициентами, все рациональные функции, знаменатель которых не обращается в $0$ по модулю $p$, и многие другие. Этими функциями можно равномерно аппроксимировать на любом отрезке любую действительную функцию, непрерывную на этом отрезке.
Эти функции «голографичны» в том смысле, что если какие-то две из них совпадают на любом (произвольно малом) отрезке действительной оси, то они совпадают и на всей действительной оси.
К числу этих функций относятся и такие известные «хаотические» функции как, например, логистическое отображение $x \to rx(x-1)$. Будет показано, что такие функции не являются хаотическими как функции на кольце целых $p$-адических чисел, что «хаос» как перемешивающее отображение вообще отсутствует на планковских расстояниях при условии, что на этих расстояниях выполняется «закон причинности», и что «хаос» возникает лишь на «макроскопических» расстояниях, т.е. при переходе к действительным числам.
С физической точки зрения рассматриваемые модели представляют собой модели со скрытыми параметрами, в роли этих параметров выступают расстояния, соизмеримые с планковскими, и потому недоступные (по крайней мере, в настоящее время) для прямых измерений.