Аннотация:
Говорят, что отображение $f:G\to H$распроектируется (в коразмерности 1), если $f$ является композицией некоторого вложения $G\to H\times \mathbb R$ и проекции.
Мы рассматриваем случай, когда $G$ и $H$ — конечные графы, а $f$ кусочно-линейно и невырождено (т.е. каждая точка имеет лишь конечное число прообразов).
Известное необходимое условие распроектируемости $f$ — существование
эквивариантного отображения $\Delta_f \to S^0$, где $\Delta_f = \{(x, y) \in G\times G\ |\ x \neq y, f(x)
= f(y) \}$. Аналогичное условие можно сформулировать, рассматривая вместо пар $n$-ки точек $G$, причём все эти условия можно переформулировать комбинаторно, как утверждения о несуществовании путей определённого вида. Конъюнкция всех этих необходимых условий всё равно не будет достаточным условием распроектируемости $f$.
Однако, существование эквивариантного отображения $\Delta_f \to S^0$, удовлетворяющего некоторому условию согласованности для троек точек $G$, оказывается необходимым и достаточным условием распроектируемости $f$; по существу это показано в работе Поэнару [1, Lemme 1.5].
Для гладких погружений общего положения между многообразиями Поэнару доказал достаточность и более слабого условия [1, Theoreme 1], но в нашем случае оно не является достаточным.
Если останется время, мы также обсудим эквивалентность задачи распроектирования задаче аппроксимации вложениями (которая обсуждалась на семинаре месяц назад) в случае, когда граф $H$ гомеоморфен отрезку и отображение $f$ PL-устойчиво.
[1] V. Poénaru. Homotopie régulière et isotopie. Publications mathématiques Orsay. Université Paris
XI, U.E.R. Mathématique, 1974.
