Аннотация:
Векторное поле $v$ на гладком многообразии называется градиентоподобным потоком, если существует функция Морса $f$, называемая энергетической функцией для $v$, такая что $df(v) > 0$ в некритических точках функции $f$, и вблизи любой критической точки функции $f$ пара $(v, f)$ приводится к виду $(v = grad Q, f = Q + const)$ в некоторых локальных координатах, где $Q$ — квадратичная функция. Положения равновесия градиентоподобного потока на поверхности — источники, стоки и седловые точки — совпадают с точками локальных минимумов, локальных максимумов и седловых критических точек энергетической функции. В докладе изучается пространство бездивергентных (т.е. несжимаемых) градиентоподобных потоков с заданным числом источников, стоков и седел на замкнутой поверхности. Мы опишем топологию этого пространства и структуру его разбиения на классы траекторной эквивалентности. Оказывается, что пространство таких потоков, а также пространство соответствующих энергетических функций Морса $f$ имеют ту же топологию, что и (конечномерное) многообразие мероморфных 1-форм на римановой поверхности. Мы опишем простейшие примеры, сформулируем открытые вопросы.
|
