Качение сферических тел с периодическими управлениями

При построении различных сферических роботов возникает проблема математического описания их динамики и прогнозирования их движения под действием управляющих воздействий. В частности, соответствующие уравнения могут быть построены в рамках стандартной модели неголономного качения (отсутствует роскальзывание) и резиновой модели качения (отсутствует проскальзывание и верчение). Изучению таких моделей посвящен данный доклад.
В докладе будут рассматрены математические модели качения по плоскости уравновешенного и неуравновешенного сферических тел с периодическими изменяющимися моментами инерции и гиростатическим моментом. Целью данной работы является исследование устойчивости некоторых частных режимов движения, которые могут быть в дальнейшем реализованы при построении некоторых стандартных маневром в натурных образцах сферических роботов.
Из ранее проведенных исследований инерционного движения уравновешенной «резиновой» сферы известно, движение с вращением вокруг наибольшей или наименьшей оси вращения являются устойчивыми, а движение с вращением вокруг средней оси инерции — неустойчивыми. Представленное в докладе исследование показало, что плоскопараллельное движение, соответствующее средней оси инерции, может становиться устойчивым в случае периодического изменения моментов инерции. Кроме того, показано, что существуют частоты (резонансные) изменения моментов инерции, при которых устойчивые плоскопараллельные движения могут быть дестабилизированы.
Численная оценка устойчивости плоскопараллельных движений показывает, что их устойчивость является нейтральной. Тем не менее, в фазовом пространстве рассматриваемой системе также могут возникать различные асимптотические режимы движения: предельные циклы, притягивающие торы и странные аттракторы. Возникновение таких режимов движения в робототехнике является нежелательным, поэтому важным является понимание механизма и условий их возникновения. В частности, показано, что для рассматриваемой система странные аттракторы могут возникать вследствие каскада бифуркаций удвоения периода или конечного числа бифуркаций удвоения тора.
Для неуравновешенной «резиновой» сферы указаны условия существования инвариантных многообразий, движение на которых является плоскопараллельным и описывается гамильтоновыми уравнениями. С помощью метода Мельникова показано, что в случае периодических управлений на инвариантном многообрзии может возникать хаотическая динамика. Исследована устойчивость положений равновесия системы в зависимости от параметров управляющих воздействий.