Брахистохрона и двумерная задача Годдарда

Рассматривается движение материальной точки в вертикальной плоскости в однородном поле тяжести и в однородной, сопротивляющейся среде. В качестве управляющих переменных рассматриваются угол траектории и тяга. Целью управления является максимизация горизонтальной дальности за заданное время. Количество топлива задано. Наряду с задачей максимизации дальности рассматривается модифицированная задача о брахистохроне, сформулированная следующим образом: найти кривую, соединяющую две точки в вертикальной плоскости, вдоль которой материальная точка в поле силы тяжести и неконсервативной силы перемещается из начальной в конечную точку за кратчайшее время.
В [1] была исследована оптимального программирования тяги в задаче максимизации дальности при заранее определенных законах изменения угла наклона траектории. В [2] рассмотрена задача о брахистохроне, в которой управлением являлся угол наклона траектории, при заранее заданных законах изменения массы точки. Настоящее исследование дополняет работы [1,2], поскольку управлениями являются и угол наклона траектории, и сила тяги.
Результаты: для определенной области в пространстве переменных построен синтез оптимального управления тягой и углом наклона траектории. Структура оптимальной тяги качественно совпадает с классическим решением задачи Годдарда: максимальная-промежуточная-нулевая или нулевая-промежуточная-нулевая.