Банаховы пределы, сингулярные следы и их приложения

В 1929 г. С. Мазур анонсировал существование некоторого специального класса функционалов (более точно – положительных, нормированных, инвариантных относительно сдвига) на пространстве ограниченных последовательностей. Доказательство их существования было приведено в книге С. Банаха 1931 г. как следствие теоремы Хана-Банаха. Впоследствии такие функционалы были названы банаховыми пределами.
В 1948 году Г. Г. Лоренц ввел в рассмотрение специальное подмножество ограниченных последовательностей, на которых все банаховы пределы совпадают. Следуя Лоренцу, такие последовательности называют почти сходящимися. Понятие почти сходимости естественным образом определяет метод суммирования. Таким образом, банаховы пределы являются средством описания асимптотического поведения ограниченных, но расходящихся последовательностей.
С тех пор банаховы пределы нашли свое применение в различных областях математики, таких как эргодическая теория, выпуклая геометрия, теория чисел и другие. Особый интерес представляет использование банаховых пределов в теории сингулярных следов.
В 1960 г. Ж. Диксмье построил первый пример сингулярного следа на некотором идеале в алгебре B(H) ограниченных линейных операторов на бесконечномерном гильбертовом пространстве H. В конце 1980-х А. Конн использовал следы Диксмье для конструкции интеграла в контексте его некоммутативной геометрии. За последние 30 лет изучение сингулярных следов оформилось в отдельную область исследования с приложениями в различных областях математики.
Доклад посвящен различным свойствам множества банаховых пределов и его подмножеств; различным конструкциям сингулярных следов, их связи между собой и с банаховыми пределами; приложениям банаховых пределов к исследованию асимптотики коэффициентов Фурье-Хаара и следов к некоторым классам операторов.