Mathematical rigor, mathematical creativity, and the transgression of limits

Достоинство и высочайшая уверенность − характеристики математики, гарантированные строгими доказательствами. Древние или, точнее, Архимед были и оставались пробным камнем легитимности математических методов, объектов, доказательств вплоть до времен Эйлера. Чтобы продемонстрировать равенство двух величин, обычным и необходимым было двойное reductio ad absurdum. Тем не менее, благодаря письму Архимеда Эратосфену мы знаем, что он преступил пределы легитимности, когда искал решение проблем. Его доказательства подвергались критике из-за их неясности. Поэтому авторы пытались заменить их утвердительными доказательствами. В 1615 году Кеплер пояснил теоремы Архимеда в своей «Новой стереометрии винных бочек», используя геометрические преобразования и аналогии, что позволило превзойти результаты греческого автора. Имел ли он на это право? В 1641 году Гульдин заговорил о новом методе доказательства Кеплера. Сам Гульдин утверждал, что проводил ясные и наглядные доказательства вместо слишком неясных доказательств Архимеда. Когда в 1676 году Лейбниц широко использовал бесконечно малые и бесконечные величины в своей Арифметической квадратуре круга и т. д., он признал, что это может показаться неясным, но подчеркнул, что они предоставляют сокращения для слов «говорить, думать, открывать и демонстрировать» и что его метод отличается от стиля Архимеда только по оборотам речи. В 1755 году Эйлер попытался иначе обосновать использование этих величин. Но он был убеждён, что подобно древним книгам, им соблюдена высочайшая геометрическая строгость.
*) Вход прежний