Усреднение нелокального оператора Шредингера (по совместной работе с Е.А.Жижиной, А.Л.Пятницким и Т.А.Суслиной)

В $L_{2}(\mathbb{R}^{d})$ рассматривается самосопряженный ограниченный оператор $\mathbb{A}_{\varepsilon}$, $\varepsilon>0$, вида
\begin{equation*} (\mathbb{A}_{\varepsilon}u)(x):=\varepsilon^{-d-2}\int_{\mathbb{R}^{d}} a((x-y)/\varepsilon)\mu(x/\varepsilon,y/\varepsilon)(u(x)-u(y))\, dy,\ x\in\mathbb{R}^{d},\ \ u\in L_{2}(\mathbb{R}^{d}). \end{equation*}
Операторы такого типа встречаются при описании поведения случайных систем большого (бесконечного) числа частиц. Предполагается, что $a(x)$ — четная неотрицательная функция класса $L_{1}(\mathbb{R}^{d})$, $\|a\|_{L_{1}}=1$; $\mu(x,y)$ — ограниченная и положительно определенная функция, $\mathbb{Z}^{d}$-периодическая по каждой переменной, причем $\mu(x,y)=\mu(y,x)$. Кроме того, предполагаются конечными моменты $M_{k}=\int_{\mathbb{R}^{d}}|x|^{k}a(x)dx$, $k=1,2,3$. При сделанных предположениях оператор $\mathbb{A}_{\varepsilon}$ ограничен, самосопряжен, неотрицателен, $\min\sigma(\mathbb{A}_{\varepsilon})=0$.
Изучается поведение резольвенты $(\mathbb{A}_{\varepsilon}+I)^{-1}$ при малом $\varepsilon$. Мы покажем, что при $\varepsilon\to 0$ оператор $(\mathbb{A}_{\varepsilon}+I)^{-1}$ сходится по операторной норме в $L_{2}(\mathbb{R}^{d})$ к резольвенте $(\mathbb{A}^{0}+I)^{-1}$ эффективного оператора. Эффективный оператор представляет собой эллиптический оператор второго порядка $\mathbb{A}^{0}=-\operatorname{div}g^{0}\nabla$; матрица $g^{0}$ определяется в терминах решения некоторой вспомогательной задачи на ячейке периодичности $\Omega:=[0,1)^{d}$. Справедлива оценка для нормы разности резольвент
\begin{equation*} \|(\mathbb{A}_{\varepsilon}+I)^{-1}-(\mathbb{A}^{0}+I)^{-1}\|_{L_{2}(\mathbb{R}^{d})\to L_{2}(\mathbb{R}^{d})}\leqslant C(a,\mu)\varepsilon,\ \ \varepsilon>0. \end{equation*}
Метод исследования опирается на теоретико-операторный подход, который был развит М.Ш.Бирманом и Т.А.Суслиной. Мы обсудим ряд особенностей нелокального оператора Шрёдингера, которые требуют любопытной модификации теоретико-операторного подхода и делают задачу усреднения для этого оператора очень интересной.