Числа вида $kf(k)$

Пусть $f\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N}$ – некоторая арифметическая функция. Рассмотрим множество $N^{\times}_{f}(x)$ натуральных чисел $n\leqslant x$ вида $n= kf(k)$. Мы докажем, что при $x\to+\infty$ имеют место соотношения
\begin{gather*} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! 1) \quad |N^{\times}_{\tau}(x)| \asymp \frac{x}{(\log x)^{1/2}}; \\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! 2) \quad |N^{\times}_{\omega}(x)| \asymp \frac{x}{\log\log x}; \\ 3) \quad |N^{\times}_{\varphi}(x)| = (c_0+o(1))x^{1/2},\ \ c_0=1.365... \end{gather*}

где $\tau(n)$ – функция делителей, $\omega(n)$ – число простых делителей $n$ без учёта кратности, а $\varphi(n)$ – функция Эйлера.
Идентификатор конференции: 942 0186 5629 Код доступа-шестизначное число, первые три цифры которого образуют число p+44, а последние три цифры-число q+63, где p,q-наибольшая пара близнецов, меньших 1000