Аннотация:
Детерминантные процессы — класс случайных точечных полей (случайных дискретных подмножеств некоторого пространства $E$) с необычными свойствами, сочетающими случайность и строгую детерминированность. Детерминантный процесс определяется некоторым оператором на пространстве $L^2(E)$, причём большинство примеров детерминантных процессов соответствуют проекторам на некоторое подпространство $H$ в $L^2(E)$, причём $H$ состоит из достаточно регулярных функций и можно говорить о значениях функции $f$ из $H$ в какой-либо точке. Это даёт возможность задать следующий вопрос: определяется ли функция из $H$ по своим значениям в точках случайной конфигурации? Оказывается, что для почти всех (в смысле детерминантного процесса, соответствующего проектору на $H$) конфигураций это верно (иными словами, не существует функции из $H$, обращающейся в нуль во всех точках конфигурации). Более того, А.И. Буфетовым было установлено, что для многих процессов корректно определён эксцесс: такая константа $k$, что если из почти любой конфигурации выбросить любые $k$ точек, то по-прежнему не существует функции из $H$, обращающейся в ноль на этом множестве, а при выбрасывании $(k+1)$ точки такая функция существует.
Рассмотрим такую «случайную конфигурацию минус $k$ точек» $X$. Как уже было сказано, функция из $H$ однозначно почти наверное задаётся своими значениями на $X$. Но можно ли восстановить $H$ по этим значениям? Это линейная задача, поэтому можно рассмотреть «базис» — для каждой точки $s$ из $X$ определить функцию $f_s$, которая обращается в нуль во всех точках $X$, кроме $s$, а $f_s(s)=1$. Для функции $h$ из $H$ можно тогда построить ряд — сумму $h(s)f_s$ по всем $s$ из $X$. Если этот ряд сходится в $L^2(E)$, он принимает в каждой из точек $X$ то же значение, что и $h$, то есть его сумма всюду равна $h$. Цель доклада — дать набросок доказательства сходимости этого ряда для детерминантного процесса, определяемого пространством Фока, при некотором условии регулярности функции $h$. Доклад основан на совместной работе с А.А. Боричевым и А.И. Буфетовым.
