Функциональная реализация базиса типа Гельфанда–Цетлина для алгебр Ли $\mathfrak{sp}_4$ и $\mathfrak{o}_5$

В конечномерных неприводимых представлениях алгебры Ли $\mathfrak{gl}_3$ имеется базис, называемый базисом Гельфанда–Цетлина, построение которого основано на исследовании ветвления представления при последовательных ограничениях на подалгебру $\mathfrak{gl}_3\downarrow\mathfrak{gl}_2\downarrow\mathfrak{gl}_1$. Имеются аналогичные конструкции базисов типа Гельфанда–Цетлина для алгебр Ли $\mathfrak{sp}_4$ и $\mathfrak o_5$, которые основаны на исследовании ветвления представления данной алгебры при последовательных ограничениях $\mathfrak{sp}_4\downarrow\mathfrak{sp}_2$ и $\mathfrak{o}_5\downarrow\mathfrak{o}_3$ соответственно. Хотя алгебры Ли $\mathfrak{sp}_4$ и $\mathfrak{o}_5$ изоморфны, но данные цепочки уже неизморфны, так что их использование приводит к разным базисам.
C 60-х годов XX века известно, что если представления $\mathfrak{gl}_3$ реализовывать в пространстве функций на группе $\mathrm{GL}_3$, то базисные векторы Гельфанда–Цетлина записываются явно с помощью гипергеометрических функций Гаусса. При этом для $\mathfrak{gl}_n$ при $n>3$ ситуация существенно усложняется — функции, соответствующие векторам базисов Гельфанда–Цетлина, записываются с помощью довольно сложных функций. Но для простых алгебр Ли других типов малых размерностей ситуация оказывается аналогичной $\mathfrak{gl}_3$.
В докладе вопрос о явном виде функций, соответствующих векторам базисов типа Гельфанда–Цетлина, будет рассмотрен для алгебр Ли $\mathfrak{sp}_4$ и $\mathfrak{o}_5$. Сперва будет рассмотрен случай $\mathfrak{sp}_4$. В этом случае довольно легко получается, что базисные векторы типа Гельфанда–Цетлина записываются явно с помощью $A$-гипергеометрических функций. Далее будет рассмотрен случай $\mathfrak{o}_5$. Неожиданно этот случай оказывается существенно более сложным, чем случай $\mathfrak{sp}_4$. Но тем не менее и в этом случае базисные векторы типа Гельфанда–Цетлина также записываются явно с помощью $A$-гипергеометрических функций.
В докладе будет показано, как эти результаты позволяют почти автоматически получить формулы для действий генераторов соответствующей алгебры Ли в построенном базисе.