Новые классы интегрируемых биллиардов и их связь с инвариантами интегрируемых систем

Недавно автором был введен новый класс интегрируемых биллиардных книжек, расширяющий широко известный класс плоских интегрируемых биллиардов, ограниченных дугами софокусных квадрик.
«Биллиардные книжки» склеены из двумерных плоских столов интегрируемых биллиардов (т.е. ограниченных софокусными квадриками либо концентрическими окружностями и их радиусами) по общим дугам границы. Перестановки на ребрах – «корешках» книжки – задают переход шара с одного листа книжки на другой после удара о границу плоского куска. Конструкция хорошо комбинируется с уже известными: добавляется потенциал или магнитное поле.
Доклад будет посвящен двум сюжетам. Во-первых, это шаги в доказательстве гипотезы А.Т.Фоменко о моделировании биллиардами интегрируемых гамильтоновых систем. Будут предъявлены биллиардные книжки, которые реализуют произвольную наперед заданную невырожденную особенность с периодическими траекториями. Такие особенности-атомы соответствуют вершинам молекул Фоменко-Цишанга и задают тип бифуркации регулярных торов Лиувилля. Во второй части доклада предполагается осветить вопросы топологии трехмерных поверхностей постоянной энергии для ряда систем биллиардных книжек. Класс таких многообразий оказался не ограничен многообразиями Зейферта (как и для интегрируемых систем, найдены многообразия Вальдхаузена, но не Зейферта).