Аннотация:
Обозначим через $\mathfrak n = \mathrm{lim}\, \mathfrak n_k$ локально нильпотентную комплексную алгебру Ли, то есть прямой предел цепочки вложенных конечномерных нильпотентных комплексных алгебр Ли $\mathfrak n_1 \subset \mathfrak n_2 \subset \ldots \subset \mathfrak n_k \subset \mathfrak n_{k+1} \subset \ldots$.
В случае, кoгдa $\mathfrak n$ нильпотентна, основным инструментом в её теории представлений является метод орбит, алгебраическая версия которого была создана Ш. Диксмье, Б. Костантом, А. Джозефом и другими математиками. Метод орбит устанавливает гомеоморфизм между пространством $\mathrm{JSpec}\, \mathrm U(\mathfrak n)$ примитивных идеалов в универсальной обёртывающей алгебре $\mathrm U(\mathfrak n)$ (с топологией Джекобсона) и пространством $\mathfrak n^* / N$ коприсоединённых $N$-opбит на двойственном пространстве $\mathfrak n^*$, где $N = \mathrm{exp}(\mathfrak n)$. Последнее пространство, в свою очередь, естественно гомеоморфно пространству $\mathrm{PSpec}\, \mathrm S(\mathfrak n)$ примитивных пуассоновых идеалов в симметрической алгебре $\mathrm S(\mathfrak n)$. При этом почти любой примитивный пуассонов идеал центрально порождён, то есть в $\mathfrak n^*$ есть $N$-инвариантное открытое подмножество, coдержaщее орбиты, идеалы которых порождаются своим пересечением с пуассоновым центром $Y(\mathfrak n)$ алгебры $\mathrm S(\mathfrak n)$.
Пусть теперь $\mathfrak n$ бесконечномерна. Мы с Алексеем Петуховым построили аналог метода орбит в этой ситуации, то есть сконструировали гомеоморфизм между пространствами $\mathrm{JSpec}\, \mathrm U(\mathfrak n)$ и $\mathrm{PSpec}\, \mathrm S(\mathfrak n)$. Далее будем рассматривать специальный случай, когда $\mathfrak n$ — это так называемая ниль-алгебра Ли–Дынкина, тo есть локально нильнотентный радикал расщепляющей борелевской подалгебры простой бесконечномерной финитарной алгебры Ли. Я докажу, что и в этой ситуации в пространстве $\mathfrak n^*$ есть открытое плотное подмножество, содержащее линейные формы, которые отвечают центрально порождённым примитивным пуассоновым идеалам в $\mathrm S(n)$. Кроме тoгo, я опишу пуассонов центр $Y(\mathfrak n)$ и докажу критерий того, что данный примитивный пуассонов идеал отличен от нуля.
Доклад основан на совместной работе с Алексеем Петуховым The orbit method for locally nilpotent infinite-dimensional Lie algebras (Ј. Algebra 585 (2021), 501–557, arXiv:2004.01068).
