Задача Банаха об изометричных подпространствах в размерности 4

Доклад посвящен следующей задаче, поставленной С.Банахом: Пусть V - нормированное пространство, 1<n<dim(V), и предположим, что все n-мерные линейные подпространства V изометричны друг другу. Верно ли, что норма пространства V обязательно евклидова?
Тот же вопрос на языке выпуклых множеств: Дано выпуклое симметричное тело B в пространстве V, и все его сечения n-мерными линейными подпространствами аффинно эквивалентны друг другу. Верно ли, что B - эллипсоид?
Вопрос решен (положительно) для некоторых, но не всех значений n и dim(V). Совместно с Д.Мамаевым и А.Нордсковой нам удалось решить задачу для n=3. Со времени предыдущего доклада на эту тему был доделан негладкий случай.