Аннотация:
Канонический оператор Маслова с комплексными фазами (теория
комплексного ростка) позволяет строить асимптотические решения
широкого класса линейных (псевдо)дифференциальных уравнений в частных
производных с малым параметром в виде осциллирующих функций,
локализованных в окрестности поверхностей различных размерностей,
меньших размерности исходной задачи (например, асимптотики в виде
гауссовых волновых пакетов или гауссовых волновых пучков). Основной
геометрический объект в таких задачах - расслоение с базой - изотропным
многообразием в вещественном фазовом пространстве и слоями - плоскостями
(комплексным ростком) в комплексифицированном фазовом пространстве.
Асимптотика представляется в эффективном виде в окрестности (регулярных)
точек, взаимно однозначно проектирующихся из изотропного многообразия в
конфигурационное пространство, и в виде осциллирующих интегралов с
комплексной фазовой функцией в окрестности особых точек. Строятся
новые представления канонического оператора с комплексным фазами,
аналогичные предложенным недавно С.Ю.Доброхотовым, В.Е.Назайкинским и
А.И.Шафаревичем для вещественного канонического оператора, позволяющие
избежать перехода в не очень эффективную в практических приложениях
импульсно-координатную систему координат, что обычно необходимо делать
при применении канонического оператора в стандартном виде.
Практическим результатом является получение более простых для
конкретных вычислений выражений. В некоторых случаях возможно
эффективное представление асимптотических решений в виде специальных
функций.
