Параметрическая иерархия Кортевега–де Фриза,уравнения С.П. Новикова и гиперэллиптические сигма-функции

В докладе будет описана градуированная иерархия КдФ, зависящая от бесконечного набора параметров $a_4,a_6,\ldots,\; |a_{2k}|=2k$, и для каждого $g=1,2,\ldots$ введены стационарные $g$-уравнения этой иерархии, $g$-уравнения Новикова.
Пространством Дубровина–Новикова $\mathbb{C}_{DN}^{3g}$ будем называть пространство $\mathbb{C}^{3g}$ с градуированными координатами $u_0,u_1,\ldots,u_{2g-1};a_4,\ldots,a_{2g+2},\; |u_k| = k+2,\, |a_{2k}| = 2k$. Каждое стационарное $g$-уравнение задает в $\mathbb{C}_{DN}^{3g}$ семейство полиномиальных гамильтоновых систем в $\mathbb{C}^{2g}$, зависящее от $g$ параметров. Это семейство имеет вид \[ u_n' = u_{n+1},  n=0,\ldots,2g-2,\quad u_{2g-1}' = f_{2g+2}, \] где $f_{2g+2} = f_{2g+2}(u_0,u_1,\ldots,u_{2g-2};a_4,\ldots,a_{2g+2})$ – однородный полином, и $a_{2k}'=0$.
Используя обратимую полиномиальную замену переменных, мы перейдем к координатам \[ x_{1,2k-1}, x_{2,2k-1}, x_{3,2k-1},\; k=1,\ldots,g,\; |x_{s,2k-1}| = s+2k-1,  s=1,2,3, \] в которых в явном виде записывается однородная скобка Пуассона с $g$-мерным аннулятором, и приведем $g$ однородных полиномиальных гамильтонианов в инволюции.
В докладе будет показано, что если параметры $\{a_{2k}\}$ заданы рекурсией \[ 2a_{2k+2} = \lambda_{2k+2} - \sum_{i=1}^{k-2}a_{2i+2}a_{2k-2i},\; k\geqslant 3, \] с начальными условиями $2a_4=\lambda_4,\; 2a_6=\lambda_6$, то для любого $g\geqslant 1$ параметрическая иерархия КдФ определяет в $\mathbb{C}^{3g}$ динамическую систему, решение которой можно задать в виде \[ x_{1,2k-1} = \wp_{1, 2k-1},\quad x_{2,2k-1} = \wp_{1,2k-1}',\quad x_{3,2k-1} = \wp_{1,2k-1}",\; k=1,\ldots,g, \] где $f' = \frac{\partial f}{\partial z_1}$ и $\wp_{1,2k-1} = \wp_{1,2k -1}(z,\lambda) = -\frac{\partial^2\ln\sigma(z,\lambda)}{\partial z_1\partial z_{2k-1}},\; k=1,\ldots,g$. Здесь $\sigma(z,\lambda)$ – сигма-функция неособой гиперэллиптической кривой \[ y^2 = x^{2g+1} + \lambda_4 x^{2g-1} + \ldots + \lambda_{4g}x + \lambda_{4g+2},\; |x|=2,  |y| = 2g+1,  |\lambda_{2s}| = 2s, \] где $z = (z_1,\ldots,z_{2g-1})$,  $\lambda = (\lambda_4,\ldots,\lambda_{4g+2})$. При этом набор $(\lambda_4,\ldots,\lambda_{2g+2})$ задает параметры семейства динамических систем в $\mathbb{C}^{2g}$, а набор $(\lambda_{2g+4},\ldots,\lambda_{4g+2})$ задает значения гамильтонианов этих систем. Таким образом, мы получаем, что для любого $g\geqslant 2$ функция $u=2\wp_{1,1}(z,\lambda)$ гиперэллиптической кривой рода $g$ удовлетворяет иерархии из $g$ уравнений. Эта иерархия начинается с уравнения КдФ $4\dot u = u'''-6uu'$, где $\dot u = \frac{\partial u}{\partial z_3}$ и $u' = \frac{\partial u}{\partial z_1}$, и заканчивается стационарным $g$-уравнением.
\vskip.3cm
Доклад основан на результатах работ:
[3pt] \blue{[1]} В. М. Бухштабер,  Полиномиальные динамические системы и уравнение Кортевега–де Фриза., Современные проблемы математики, механики и математической физики. II, Сборник статей, Тр. МИАН, 294, МАИК, М., 2016, 191–215.
[3pt] \blue{[2]} V. M. Buchstaber, V. Z. Enolski, D. V. Leykin,   $\sigma$-functions: old and new results., Integrable Systems and Algebraic Geometry, LMS Lecture Note Series N459, v.2, Cambridge Univ. Press, 2019, 175–214.
[3pt] \blue{[3]} В. М. Бухштабер, А. В. Михайлов,  Интегрируемые полиномиальные гамильтоновы системы и симметрические степени плоских алгебраических кривых., УМН, 76:4(460) (2021), 37–104.
[3pt] \blue{[4]} Е. Ю. Бунькова, В. М. Бухштабер,  Параметрическая иерархия Кортевега–де Фриза и гиперэллиптические сигма-функции., Функц. анализ и его прил., 56:3 (2022), в печати.