Аннотация:
В 1987 году Брем и Кюнель доказали следующую оценку: всякая комбинаторная триангуляция отличного от сферы $d$-мерного многообразия (без края) должна иметь не менее $3d/2+3$ вершин. Более того, наличие у многообразия $M$, отличного от сферы, триангуляции ровно с $3d/2+3$ вершинами накладывает на это многообразие очень жесткие условия. Во-первых, размерность $d$ может быть равна только $2, 4, 8$ или $16$; во-вторых, $M$ должно допускать (кусочно линейную) функцию Морса ровно с тремя критическими точками. (Илс и Кёйпер назвали многообразия, удовлетворяющие этим свойствам, многообразиями, похожими на проективные плоскости.) До настоящей работы было известно ровно 5 примеров различных $(3d/2+3)$-вершинных триангуляций $d$-мерных многообразий, отличных от сферы:
1) $d=2$: единственная $6$-вершинная триангуляция вещественной проективной плоскости (фактор границы икосаэдра по антиподальной инволюции);
2) $d=4$: единственная $9$-вершинная триангуляция комплексной проективной плоскости (Кюнель, 1983);
3) $d=8$: три $15$-вершинные триангуляции кватернионной проективной плоскости (построение триангуляций - Брем и Кюнель, 1992; доказательство, что эти триангуляции действительно гомеоморфны кватернионной проективной плоскости - Городков, 2016).
Случай $d=16$ до сих пор оставался полностью открытым: не было известно никаких $27$-вершинных триангуляций $16$-мерных многообразий, отличных от сферы. В докладе я расскажу о построении таких триангуляций. А именно, будет предъявлено четыре таких симплициальных многообразия с группой симметрий порядка $351$ и на их основе построено очень много (более $10^{103}$) таких симплициальных многообразий с меньшими группами симметрий. Слово "предъявлено" означает следующее. Четыре симплициальных многообразия с группой симметрий порядка $351$ были найдены при помощи специального компьютерного алгоритма и ответом для каждой из них является список из $286$ орбит $16$-мерных симплексов.
Естественная гипотеза состоит в том, что все построенные симплициальные многообразия кусочно линейно гомеоморфны октавной проективной плоскости. Однако попытки доказательства этой гипотезы упираются в необходимость вычисления второго класса Понтрягина построенных симплициальных многообразий. В настоящее время не известно эффективного способа такого вычисления.
