Реализация алгебр Ли автоморфизмами CR-многообразий и симметриями дифференциальных уравнений

Для произвольной конечномерной вещественной алгебры Ли существует система уравнений в частных производных с алгеброй симметрий, изоморфной данной. Этот результат выглядит как классический, однако ранее получен не был, насколько известно докладчику. В докладе мы восполним этот пробел и покажем, как построить такую систему уравнений. Основной инструмент здесь — это многообразия Сегре, являющиеся мостом между теорией уравнений в частных производных и CR-геометрией. Сначала мы построим росток CR-многообразия с заданной алгеброй инфинитезимальных голоморфных автоморфизмов — и это тоже, по-видимому новый результат, хотя утверждения такого типа были получены в ряде работ: например, А.Е. Туманов и Г.Б. Шабат (1990) реализовали произвольную алгебру Ли голоморфными автоморфизмами ограниченной области, а в работе Й. Винкельмана (2002) произвольная алгебра Ли реализована голоморфными автоморфизмами многообразий Штейна. Затем с помощью техники, восходящей к Э. Картану и Б. Сегре, мы получим систему уравнений с заданными симметриями. Отметим, что произвольную конечномерную алгебру Ли можно реализовать даже автоморфизмами вещественно-аналитической гиперповерхности, т.е. CR-многообразия коразмерности один. Мы приведем конкретные примеры таких гиперповерхностей.