Аннотация:
В докладе будет обсуждаться задача о построении $S$-образной бифуркационной кривой решений для уравнений вида $− \Delta u= f_{\lambda, \mu} (u)$, $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. Особое внимание уделяется малоизученному случаю, когда нелинейность $f_{\lambda, \mu} (s)$ является нелипшицевой в $0$, $f_{\lambda, \mu} (0)=0$, и $f_{\lambda, \mu} (s)<0$ при $s \in (0,r)$ для некоторого $r>0$.
S-образные бифуркационные кривые решений возникают при изучении многих задач, таких как уравнение Лиувилля-Брату-Гельфанда, уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова, задача о кривизне Минковского, в реакционно-диффузных моделях, описывающих различные пространственно-временные явления в биологии, физике, химии и т.д.
Основная трудность в построении такой кривой заключается в том, что для её построения необходимо определять две бифуркационные точки, с последующим нахождением трех ветвей решений на интервале между этими точками, а также двух одноветвевых решений на оставшихся интервалах.
В докладе будет показано, каким образом эти трудности преодолеваются с помощью
метода нелинейно-обобщенных отношений Рэлея. В качестве примера, приводится построение $S$-образной бифуркационной кривой решений обладающей, так называемой катастрофой "дуальной сборки".
|
