Обобщение теоремы Романова

Н. П. Романов доказал, что для каждого натурального числа $a>1$ плотность натуральных чисел вида $p+a^{n}$ положительна ($p$ пробегает все простые числа, $n$ натуральные). Мы обобщаем результат Романова в следующем направлении. Пусть $R(n)$ — многочлен степени $d$ с целыми коэффициентами, принимающий на множестве натуральных чисел положительные значения. Обозначим через $N(x)$ количество натуральных чисел, не превосходящих $x$ и представимых в виде $p+ a^{R(n)}$. Тогда для достаточно больших $x$ справедливы неравенства
$$ c_{1}\frac{x}{(\ln x)^{1-1/d}}\leq N(x) \leq c_{2}\frac{x}{(\ln x)^{1-1/d}}, $$
где $c_{1}$ и $c_{2}$ — положительные постоянные, зависящие только от $R$ и $a$.
Также мы доказываем, что
$$ N \leq \sum_{n=1}^{N} \left(\frac{a^{R(n)}-1}{\varphi(a^{R(n)}-1)}\right)^{s} \leq c N, $$
$N=1, 2,\ldots .$ Здесь $\varphi$ — функция Эйлера, $s$ — натуральное число и $c$ — положительная постоянная, зависящая только от $R$, $a$ и $s$.
Идентификатор конференции: 918 2692 4661 Код доступа-шестизначное число, равное сумме квадратов двух чисел, первое из которых равно 4!, а второе на 5 меньше, чем наименьшее простое число, большее 600.