|
СЕМИНАРЫ |
Научный семинар «Актуальные проблемы геометрии и механики» имени проф. В. В. Трофимова
|
|||
|
Задача Штурма–Лиувилля для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами В. И. Горбачёв Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет |
|||
Аннотация: Рассмотрена классическая задача Штурма–Лиувилля для однородного самосопряженного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, зависящими от постоянного параметра. \begin{equation}\nonumber \frac{d}{dx}\bigg[C(x)\frac{du}{dx}\bigg]+q(x)u=0\,,\qquad x\in(a,b)\,,\eqno(1) \end{equation} где коэффициенты \begin{equation}\nonumber u(x)=K_IA_I(x)\equiv K_1A_1(x)+K_2A_2(x)\,,\eqno(2) \end{equation} где \begin{equation}\nonumber \begin{aligned} &A_1(x)=e^{i\mu_\textrm{o}x}+ i\mu_\textrm{o}\int\limits_a^b \frac{\partial G(x,\xi)}{\partial\xi}\tilde{C}(\xi)\, e^{i\mu_\textrm{o}\xi}d\xi-\int\limits_a^b G(x,\xi)\tilde{q}(\xi)e^{i\mu_\textrm{o}\xi}d\xi\,, \\ &A_2(x)=e^{-i\mu_\textrm{o}x}- i\mu_\textrm{o}\int\limits_a^b \frac{\partial G(x,\xi)}{\partial\xi}\tilde{C}(\xi)\, e^{-i\mu_\textrm{o}\xi}d\xi-\int\limits_a^b G(x,\xi)\tilde{q}(\xi)e^{-i\mu_\textrm{o}\xi}d\xi\,. \end{aligned}\eqno(3) \end{equation} Здесь \begin{equation*} \frac{d}{dx}\bigg[C(x)\frac{dG(x,\xi)}{dx}\bigg]+q(x)G(x,\xi)+ \delta(x-\xi)=0\,,\qquad x,\xi\in(a,b)\,, \end{equation*} Для уравнения (1) рассматривается краевая задача с однородными условиями \begin{equation}\nonumber \alpha_1u(a)+\beta_1u'(a)=0\,,\qquad \alpha_2u(b)+\beta_2u'(b)=0\,,\eqno(4) \end{equation} где |