Аннотация:
Пусть $F: \mathbb{C}^n\to \mathbb{C}^n$ -— полиномиальное отображение комплексного пространства в себя. Когда оно обратимо? Необходимым условием является локальная обратимость в каждой точке. Знаменитая проблема Якобиана утверждает, что это условие является достаточным. С 1948 по 1968 год (до тех пор, пока Л. Макар-Лиманов не обнаружил ошибку в "общеизвестном" решении) проблема Якобиана считалась “решённой” для $n=2$, с тех пор каждые несколько месяцев появляются новые “доказательства”.
С проблемой Якобиана тесно связана гипотеза Диксмье, формулировка которой для $n=1$ выглядит невинно: пусть $P, Q$ – многочлены от $x$ и $(d/dx)$, причём $PQ– QP=1$. Верно ли, что $(d/dx)$ можно выразить через $P$ и $Q$. Это утверждение до сих пор не доказано.
Недавно удалось доказать эквивалентность этого утверждения проблеме Якобиана для $n=2$. Стабильная эквивалентность гипотезы Якобиана и Диксмье доказана в работе A. Ya. Kanel-Belov, M. L. Kontsevich, "The Jacobian conjecture is stably equivalent to the Dixmier conjecture", Mosc. Math. J., 7:2 (2007), 209–218 , arXiv: math/0512171 . Доказательство использует аналогию между классическими и квантовыми объектами. В докладе будет дано объяснение этой аналогии, а также мы обсудим гипотезы о естественной изоморфности групп полиномиальных симплектоавтоморфизмов и автоморфизмов алгебры Вейля.
Известно близкое утверждение называемое теоремой Абьенкара–Моха: Пусть $P(x,y), Q(x), R(x)$ — многочлены, причём $R(P(x),Q(x))=x$. Доказать, что либо степень $P$ делит степень $Q$, либо наоборот. проблема Абьянкара утверждает, что все вложения аффинной прямой в $\mathbb{C}^3$ изоморфны. Над $\mathbb{R}$ ответ отрицателен – имеются полиномиальные узлы, так что проблему Абьянкара можно рассматривать как возможность определить узел абстрактно алгебраическим образом.
|
