Аннотация:
Мы рассматриваем отображения из групп кос в группы $\Gamma_{n}^{4}$ и представления
групп $\Gamma_{n}^{4}$. Это группы возникли естественным образом при исследовании
диаграмм Вороного на двумерных поверхностях. При рассмотрении n точек диаграмма
Вороного претерпевает флип, когда четыре ближайшие точки находятся на одной окружности
(а все остальные - вне этой окружности). Таким образом, группы $\Gamma_{n}^{4}$
имеют $3{n\choose 4}$ образующих $d_{ijkl}$, индексируемых четверками точек, у которых дополнительно
указано, какие пары точек следует считать формально противоположными.
Три группы соотношений в $\Gamma_{n}^{k}$ таковы:
квадрат каждой образующей равен единице;
любые две образующие, имеющие не более двух общих индексов коммутируют
и
(соотношение пятиугольника)
$d_{ijkl}d_{ijlm}d_{jklm}d_{ijkm}d_{iklm}=1$.
Последнее соотношение в тензорной и иных формах многократно
появлялось в разных классических работах, но группы $\Gamma_{n}^{4}$
там определены не были.
В связи с этим теория перегруппировки (recoupling theory), использованная
ранее для построения инвариантов 3-многообразий (Л-Х.Кауфман,
С.Линс), дает инварианты классических кос.
Вычисленные примеры инвариантов кос принадлежат И.М.Никонову.
С другой стороны, преобразование Птолемея, дающее решение уравнения
пятиугольника и представления групп кос, приводит к новой конструкции для построения
инвариантов (Виро-Тураева) трехмерных многообразий.
Таким образом, группы $\Gamma_{n}^{4}$ лежат на стыке нескольких теорий —
косы, трехмерные многообразия, кластерные алгебры, колчаны и др.
Будет предложен ряд открытых задач.
|
